Родился 3 (15) августа 1907 года, в с. Рассыпное (ныне Песчанокопского района Ростовской области).
С 11 лет работал батраком: ухаживал за скотом, потом был помощником машиниста на молотилке.
В 1929 году вступил в ТОЗ. После окончания курсов трактористов, работал в совхозе "Гигант", а после его разукрупнения, в 1934 г. — в Целинском зерносовхозе.
Участник Великой Отечественной войны.
Трижды удостаивался права участвовать во Всесоюзной Выставке достижений народного хозяйства. Награждался золотыми медалями ВДНХ. В 50-е годы его назначают механиком по комбайнам 1-го отделения. Обучал молодых механизаторов, передавал накопленный опыт работы на тракторе и комбайне.
В 1963 году по заданию партийного комитета и дирекции совхоза ездил в Зерноград на курсы по обучению работе на новом тракторе К-700 ("Кировец").
В начале 1960-х годов Анатолий Тихонович создает звено из молодых механизаторов по выращиванию сахарной свеклы, других кормов при комплексе по выращиванию свиней. Отработав технологию выращивания свеклы, получал со своего участка по 200-230 ц/га. В отдельные годы, когда не хватало трактористов, сам садился в кабину трактора, засевал по 100 га свеклы. Звено не только выращивало корма, но вело откорм свиней на своем отделении. Откармливали ежегодно по 2000-2100 голов свиней. Ежесуточные привесы каждой головы составляли 500-800 гр круглогодично.
В 1966 году его бригада собрала не только высокий урожай, но и перевыполнила план по сдаче мяса государству, продав 10.000 ц свинины.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 апреля 1967 г. трактористу совхоза "Целинский" Анатолию Тихоновичу Шавырину было присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали "Серп и Молот".
В 70-е годы Анатолий Тихонович Шавырин переехал на место жительства в село Рассыпное Песчанокопского района.
Ушёл из жизни 5 декабря 1997 года. Похоронен в с. Рассыпное Песчанокопского района ростовской области.
По материалам: сайтов "Донской временник", "Википедия"