Александр Михайлович Рекунков родился 27 октября 1920 г. на хуторе Стоговском (ныне Верхнедонского района Ростовской области) в крестьянской семье. Русский.
1939 г. - окончил среднюю школу
1939 году поступил в Тбилисское горно-артиллерийское училище имени 26 Бакинских комиссаров.
В октябре 1941 года был назначен инструктором всеобуча Верхнедонского военного комиссариата.
С февраля 1944 года воевал в 336-м гвардейском стрелковом полку 120-й гвардейской стрелковой дивизии, входившей в состав в 3-й армии 2-го Белорусского фронта. Командовал взводом, ротой, батальоном.
В феврале 1945 года получил тяжёлое ранение. После госпиталя был направлен на работу в органы прокуратуры и назначен на должность помощника прокурора Верхнедонского района Ростовской области.
1945 г. - окончил трёхмесячные курсы при Ростовской юридической школе в Таганроге
С 1946 года — помощник прокурора Целинского района Ростовской области.
С 1947 года — прокурор Константиновского района Ростовской области.
С 1952 года — прокурор Азовского района Ростовской области.
Без отрыва от работы обучался на курсах при Ростовской юридической школе, в 1946—1952 годах — в Ростовском филиале Всесоюзного юридического заочного института, который окончил с отличием.
С 1958 года — 1-й заместитель прокурора, с 1960 года — прокурор Брянской области.
С 1966 года — прокурор Воронежской области.
С 1971 года — первый заместитель Прокурора РСФСР.
С 1976 года — первый заместитель Генерального прокурора СССР.
Февраль 1981 - май 1988 года находился на пенсии по возрасту, но продолжал работать прокурором отдела в Прокуратуре Союза ССР, затем стал советником Генерального прокурора РФ.
Умер в 2 мая 1996 года в Москве. Похоронен на Кунцевском кладбище.
Избирался депутатом Совета Союза Верховного Совета СССР X—XI созывов (1979—1989) от Луганской области.